Решение системы неравенств с логарифмом

Решение задачи

Данный урок показывает, как грамотно получить решение отдельно показательного и логарифмического неравенств, а потом правильно объединить эти решения. Итак, прежде чем получит общее решение необходимо решить неравенства по отдельности. Начнем с показательного неравенства. В данном случае необходимо сначала выполнить замену и получить дробно-рациональное неравенство, которое легко решается методом интервалов. После обратной замены, получаем общее решение показательного неравенства. Теперь решим логарифмическое неравенство. Следует учесть, что неизвестная находится как в подлогарифмической функции, так и в основании логарифма, поэтому для получения решения необходимо рассматривать два случая: когда основание логарифма лежит в интервале от нуля до единицы, и второй случай – больше единицы. После получения общего решения логарифмического неравенства, осталось получить общее решение системы. Здесь все казалось бы просто, но есть маленький казус – необходимо внимательно смотреть на границы решений, потому как значение 3 входит в решение как одного неравенства, так и другого, но не входит ни в один интервал.

Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 11-х классов при изучении темы «Показательная и логарифмическая функции» («Показательные неравенства», «Логарифмические неравенства»). При подготовке к ЕГЭ урок рекомендован при повторении темы «Показательная и логарифмическая функции».