Нахождение тангенса угла между плоскостями в пирамиде

Решение задачи

Данный урок показывает решение геометрической задачи на нахождение значения тригонометрической функции — тангенса угла. Данное решение можно использовать с целью успешной подготовки к ЕГЭ по математике, в частности, при решении задач типа В13.

Условие задачи для наглядности изображается схематически на рисунке. Затем выполняется дополнительное построение: в плоскости  из вершины пирамиды к прямой опускается перпендикуляр. Также проводится диагональ основания пирамиды. Согласно определению правильной четырехугольной пирамиды, ее основанием является квадрат. Следовательно, диагонали основания пирамиды пересекаются под прямым углом. Из этого делается вывод, что — средняя линия в треугольнике , при этом она перпендикулярна диагонали основания . Для нахождения тангенса искомого угла  рассматривается треугольник . Для этого используется следующее утверждение: тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Таким образом, , где — высота пирамиды, а по свойству средней линии . В итоге, выполнив действие деления, вычисляется искомая величина тангенса угла .