Аналитическая задача на определение значений параметра, при которых система уравнений имеет два решения

Решение задачи

Данный урок показывает, как правильно определить параметр квадратного уравнения, при котором квадратное уравнение имеет два корня, при условии, что квадратное уравнение входит в систему уравнений с двумя переменными, одно из уравнений которого представляет собой логарифмическое уравнение. При решении данной задачи использовалась область определения логарифмической функции. При решении логарифмического уравнения получилась линейная функция с несколькими ограничениями. При использовании квадратной функции из второго уравнения эта функция и ограничения превратились в квадратное уравнение и неравенства. Для решения неравенства использовалась квадратичная функция (парабола): направление ветвей параболы легко определялось по старшему коэффициенту, корни уравнения находились через решение квадратного уравнения. Так как при нахождении дискриминанта квадратного уравнения в его состав входил и искомый параметр, то для получения двух корней должно было выполняться условие – дискриминант больше нулю. Это условие приводит нас к неравенству уже с искомой переменной, решив которое и наложив ограничения из области определения, мы и смогли получить итоговое решение.

Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 11-х классов при изучении тем «Показательная и логарифмическая функция» («Понятие логарифма», «Логарифмические уравнения», «Решение логарифмических уравнений»), «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств» («Уравнения и неравенства с двумя переменными», «Уравнения и неравенства с параметром, простейшие примеры»). При подготовке к ЕГЭ урок рекомендован при повторении темы «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств», «Показательная и логарифмическая функция».