Задача на решение тригонометрического уравнения

Решение задачи

Данный урок показывает, как правильно решать тригонометрическое уравнение, если оно представляет из себя алгебраическую дробь, т.е. имеет тригонометрическую функцию и в числителе и в знаменателе. Как и любое решение уравнения, представленного в виде дроби, начинаем с области определения функции. В данном случае это будет тригонометрическое уравнение с тангенсом. Числитель дроби представлен в виде тригонометрической функции с косинусом, а значит, решение данного уравнения будет содержать функцию арккосинус. Сами решения уравнения не представляют определенных сложностей, а вот определить, все ли корни являются решениями уравнения, оказывается не таким простым делом. Учитывая, что при определенных значениях косинуса и синуса (значение синуса можно получить по основной тригонометрической формуле: формула  – для решения необходимо выбрать только подходящие решения и определить для них конкретные условия – в данном случае приходится отбросить все корни со знаком минус. Тем самым мы получили ответ на пункт а) данного задания. Для решения пункта б) необходимо использовать решение пункта а) и получить возможные значения корней уравнения, входящие в заданный промежуток, при различных значениях неизвестной n, которая принимает всевозможные целые значения. Используя формулы приведения ответом на пункт б) был получен только один корень.

Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 10-х классов при изучении тем «Тригонометрические функции» («Синус и косинус», «Тангенс и котангенс», «Формулы приведения»), «Тригонометрические уравнения» («Арккосинус», «Арккосинус и решение уравнения cost=a», «Арктангенс и решение уравнения tgx=a»). При подготовке к ЕГЭ урок рекомендован при повторении тем «Тригонометрические функции», «Тригонометрические уравнения».