Геометрическая задача о параллелограмме на доказательство

Решение задачи

Данный урок показывает, как правильно доказать, что при проведении перпендикуляров из точки, расположенной на диагонали параллелограмма, получается трапеция, если соединить основания этих перпендикуляров. Решение данной задачи сводится к доказательству равенства накрест лежащих углов (условие параллельности прямых при пересечении их секущей). В данном случае доказательство проводится через доказательство подобия треугольников, которое в свою очередь доказывается через очевидные подобные треугольники, а значит, и через подобие сторон. Следует помнить, что при решении задача с пересекающимися прямыми всегда получаются вертикальные углы, которые равны по определению, кроме того для доказательства подобия прямоугольных треугольников достаточно доказать равенство одного из острых углов треугольников. Доказав равенство углов, получаем, что две стороны у полученной фигуры параллельны, что дает нам основание утверждать, что полученная фигура – трапеция. Решение пункта а) выполнено, переходим к пункту б). В данной задаче требуется определить площадь, полученной трапеции. Очевидным является тот факт, что для использования стандартной формулы площади трапеции (через стороны основания и высоту) нам не достаточно данных, поэтому на помощь приходит формула площади четырехугольника: , – где d1 и d2 – длины диагоналей, α – угол между диагоналями. Обозначив, боковые стороны параллелограмма через неизвестные можно получить данную по условию площадь параллелограмма по формуле , где а и b – стороны параллелограмма, α – угол между сторонами (который дан нам по условию), после этого можно легко получить диагонали трапеции, если использовать формулу площади трапеции через высоту и боковую сторону. Осталось найти угол между диагоналями трапеции. Для этого воспользуемся суммой углов четырехугольника: сумма углов четырехугольника равна 360º. Используя данные задачи (при проведении перпендикуляров получаются углы равные 90º), находим элементарным вычитанием угол между диагоналями трапеции. Осталось вычислить площадь трапеции. Ответ на пункт б) получен.

Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 8-х классов при изучении тем «Четырехугольники» («Многоугольники», «Параллелограмм», «Трапеция»), «Площадь» («Понятие площади многоугольника», «Площадь параллелограмма», «Площадь трапеции»), «Подобные треугольники» («Первый признак подобия треугольников», «Второй признак подобия треугольников», «Третий признак подобия треугольников», «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике»). При подготовке к ЕГЭ урок рекомендован при повторении темы «Четырехугольники», «Площадь», «Подобные треугольники».