Геометрическая задача повышенной сложности: трапеция

Диагонали  и  трапеции  пересекаются  в точке . Площади треугольников   и  равны соответственно   и  . Найдите площадь трапеции.

Решение задачи

В видео уроке показано решение задачи ОГЭ по математике на тему «геометрическая задача повышенной сложности: трапеция». Анализируется условие задачи. Проводятся логические рассуждения, опирающиеся на общеизвестные теоремы и аксиомы геометрии. Вычисляется единственно верный ответ с целью выбора аналогичного значения среди предложенных вариантов.

В ходе решения используется принципы:
— смежные, вертикальные, накрест лежащие, односторонние и прямые углы;
— свойство секущей при параллельных прямых;
— величины и свойства углов выпуклого многоугольника;
— подобие треугольников;
— отношение площадей подобных треугольников;
— коэффициент пропорциональности при подобии фигур;
— признаки подобия треугольников;
— трапеция;
— площадь трапеции;
— тождественные преобразования алгебраических выражений

После проведения анализа исходных данных (пересечение диагоналей АС и ВD трапеции в точке О, и, как следствие, подобие треугольников ВОС и АОD по трём равным углам); использования равенства отношения площадей подобных треугольников квадрату коэффициента подобия (k^2=SBOC/SАОD=9/16 => k=3/4); и определения площадей подобных треугольников с учётом суммарной высоты трапеции h как суммы высот подобных треугольников (h=ha+hb), и длин оснований трапеции ВС=а, AD=b, получим соотношение k^2=SBOC/SАОD=(1/2*а*ha)/(1/2*b*hb)=(а*ha)/(b*hb)=(a/b)*(ha/hb)=k*(ha/hb)=k^2; То есть 3/4*(ha/hb)=(3/4)^2. С учётом идеи h=ha+hb, получим ¾*hb+hb=h, hb=4/7*h, тогда ha=h-4/7*h=3/7*h. Откуда SBOC=1/2*a*ha=3/14*a*h=9; a*h=3*14=42. Аналогично: SAOD=1/2*b*hb=4/14*b*h=16; b*h=4*14=56. Тогда S=1/2*(a+b)*h=0,5*(a*h+b*h)=0,5*(42+56)=98/2=49. То есть выражением, значение которого соответствует площади искомой трапеции, оказывается выражение 49, что соответствует варианту ответа #3. Записывается конечный ответ.»

Решение данной задачи поможет ученикам 9 класса при подготовке к ОГЭ. Данный видео урок также предназначен для учащихся 8-10 и 11 классов при изучении тем: «Начальные сведения и основные понятия геометрии»,  «Луч и угол», «Параллельные прямые и их свойства», «Смежные и вертикальные углы», «Выпуклый многоугольник и его свойства», «Соотношение между сторонами и углами треугольника», «Трапеция», «Площадь трапеции», «Подобие общих фигур (коэффициент пропорциональности)», «Признаки подобия треугольников», «Отношение площадей подобных треугольников.

— Начальные геометрические сведения
— Геометрия. Основные понятия

— Луч и угол
— Смежные и вертикальные углы
— Параллельные прямые и их свойства
— Четырёхугольники: параллелограмм (частные случаи), трапеция

— Соотношение между сторонами и углами треугольника
— Первый признак подобия треугольников
— Второй признак подобия треугольников
— Третий признак подобия треугольников
— Трапеция
— Площадь трапеции
— Подобие общих фигур (коэффициент пропорциональности)
— Отношение площадей подобных треугольников
— Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

Понравилась задача? Поделись ей с друзьями

Рекомендуем

Это важно!
18.06.2016, суббота

Китайское ЕГЭ гораздо жестче отечественного

Оставить отзыв

captcha