Государственная итоговая аттестация (ГИА) по математике 9 классы

Известно, что графики функций   и  имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в системе координат.

Постройте график функции  и определите, при каких значениях  прямая   имеет с графиком ровно три общие точки.

В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна , а сумма второго и третьего членов равна . Найдите первые три члена этой прогрессии. 

Сократите дробь:   .

Упростите выражение:

.

Основание  равнобедренного треугольника  равно . Окружность радиуса  с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания  в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник .  

Стороны , ,   треугольника  равны  ,   и  соответственно. Точка  расположена вне треугольника , причём отрезок  пересекает сторону   в точке, отличной от . Известно, что треугольник с вершинами ,  и  подобен исходному. Найдите косинус угла , если .

В параллелограмме  точка  - середина стороны . Известно, что . Докажите, что данный параллелограмм - прямоугольник.

В параллелограмме  диагонали  и   пересекаются в точке . Докажите, что площадь параллелограмма  в четыре раза больше площади треугольника . 

Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв  часа, вернулись обратно через  часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна  км/ч., а собственная скорость лодки -  км/ч.