Сложное показательное уравнение

Решение задачи

Данный урок показывает, как грамотно использовать замену в показательном уравнении, как решить простейшее тригонометрическое уравнение и определить его корни, принадлежащие определенному промежутку. Первая часть задачи – решение показательного уравнения. Для этого выполняется замена и получается дробно-рациональное уравнение, решение которого возможно несколькими способами: приведение к квадратному уравнению или подбором. В данном случае оба способа приемлемы, так как уравнение не очень сложное. После получения корней выполняем обратную замену и получаем два простейших тригонометрических уравнения вида sina=t. Корни данного уравнения находятся по стандартным формулам. Для того, чтобы определить лишние корни в решении наиболее оптимальным является использование единичной окружности, с отмеченными на ней корнями уравнения. Таким образом мы получаем общее решение уравнения – ответ на пункт а) задачи. Для ответа на пункт б) необходимо правильно учесть промежуток и рассчитать корни. В данном случае это сделать очень легко, так как все корни легко отметить на единичной окружности и найти их значение, используя периодичность синуса и косинуса (не следует забывать, что период синуса и косинуса 2π). Решение получено.

Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 10-х классов при изучении темы «Тригонометрические уравнения» («Арксинус», «Арксинус и решение уравнения sina=t»); для учащихся 11-х классов при изучении темы «Показательная и логарифмическая функции» («Показательная функция, ее свойства. Простейшие показательные уравнения», «Показательные уравнения»). При подготовке к ЕГЭ урок рекомендован при повторении тем «Тригонометрические уравнения», «Показательная и логарифмическая функции».