Задача на нахождение корней тригонометрического уравнения

Решение задачи

Данный урок показывает, как правильно решить тригонометрическое уравнение, представленное в виде дроби, у которой числитель представлен квадратным тригонометрическим выражением, а знаменатель – иррациональной тригонометрической функцией. Для решения подобного необходимо представить решение в виде системы, в которой первое выражение – это числитель дроби приравненный к нулю, а второе выражение – неравенство, полученное из условия положительности подкоренного выражения. В данном случае первое выражение – квадратное тригонометрическое уравнение, для решения которого используется замена с помощью основной тригонометрической формулы: . Последующая замена тригонометрической функции на неизвестную, позволяет получить стандартное квадратное уравнение, решение которого можно получить через нахождение дискриминанта или по теореме Виета. После получения корней квадратного уравнения, выполняем обратную замену и находим решения уже двух тригонометрических уравнений. Следует помнить, что при работе с синусами и косинусами, значения функции должны находится в границах [-1; 1], в противном случае такое тригонометрическое уравнение корней не имеет. Полученные корни тригонометрических уравнений наносим на тригонометрическую окружность, с помощью которой легко выбрать корни, которые входят в область определения функции – это значение мы получаем, решив тригонометрическое неравенство. В данном случае это просто значение синуса, а следовательно, нас в решении будут интересовать только первая и вторая четверти. Исключив лишние корни, получаем итоговый ответ.

Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 10-х классов при изучении тем «Тригонометрические функции» («Синус и косинус»), «Тригонометрические уравнения» («Арккосинус», «Арккосинус и решение уравнения cost=a», «Арксинус», «Арксинус и решение уравнения sint=a»). При подготовке к ЕГЭ урок рекомендован при повторении тем «Тригонометрические функции», «Тригонометрические уравнения».