Задача на решение иррационального неравенства с показательной функцией в качестве подкоренного выражения

Решение задачи

Данный урок показывает, как правильно решить неравенство, содержащее показательную функции в качестве подкоренного выражения. При решении данного задания использовалась замена переменной: определенное выражение заменяем случайной неизвестной величиной, в задании должно получится только наша новая неизвестная. В данном случае при выполнении замены, мы одновременно установили ограничения на исходную переменную, ведь подкоренное выражение при любых неизвестных должно оставаться величиной неотрицательной. Таким образом получив необходимую область определения функции, и упростив задание получили квадратное неравенство, для решения которого необходимо решить квадратное уравнение, после чего определив куда направлены ветви мнимой параболы (квадратичная функция задает график параболы) можно с легкостью сказать, какое будет иметь решение данное неравенство. Наложенные ограничения дают возможность получить промежуток для решения неравенства через введенную неизвестную величину, но теперь необходимо выполнить обратную замену и решить полученное неравенство, относительно исходной неизвестной величины. В данном случае мы получаем иррациональное неравенство, которое решается возведением обеих частей в квадрат (в этом случае мы избавляемся от квадратного корня, при этом не забываем области определения функции). Решение полученного неравенства объединяем с областью определения функции и в итоге получаем искомое решение.

Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 11-х классов при изучении темы «Показательная и логарифмическая функция» («Показательные уравнения», «Показательные неравенства», «Показательные неравенства. Более сложные случаи»). При подготовке к ЕГЭ урок рекомендован при повторении темы «Показательная и логарифмическая функция».