Математика C6

Даны  различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию . 

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной ?

б) Каково наибольшее значение , если сумма всех данных чисел меньше ?

в) Найдите все возможные значения , если сумма всех данных чисел равна .

За новогодним столом дети ели бутерброды и конфеты, причем каждый что-то ел, и может быть так, что кто-то ел и то, и другое. Известно, что мальчиков, евших бутерброды, было не более, чем  от общего числа детей, евших бутерброды, а мальчиков, евших конфеты, было не более  от общего числа детей, евших конфеты. 

а) Могло ли за столом быть  мальчиков, если дополнительно известно, что всего за столом было  детей?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть за столом, если дополнительно известно, что всего за столом было  детей?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа детей без дополнительного условия пунктов а и б?

Найдите все пары натуральных чисел  и , удовлетворяющие равенству  ( в правой части стоит число, полученное дописыванием десятичной записи числа  после десятичной записи числа ).

На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.

а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?

б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?

в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k ?

Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел: -11, 12, 13, -14, -15, 17, -18, 19.

Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел:  -11, 12, 13, -14, -15, 17, -18, 19. 

После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 117?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Дана последовательность натуральных чисел, причём каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 10, либо в 6 раз. Сумма всех членов последовательности равна 257.

а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?

б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой последовательности?

Сумма пяти наименьших натуральных делителей натурального числа равна 17, а сумма четырех наибольших его делителей равна 427. Найдите число.

В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию.

Первый член последовательности равен 1, а последний 2046.

1) может ли в последовательности быть три члена?

2) может ли в последовательности быть четыре члена?

3) может ли в последовательности быть меньше 2046 членов?

Каждое из чисел 2,3…7 умножают на каждое из чисел 13, 14,….21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?